ПРОЕКЦИИ ТОЧКИ.
ОРТОГОНАЛЬНАЯ СИСТЕМА ДВУХ ПЛОСКОСТЕЙ ПРОЕКЦИЙ.
Сущность метода ортогонального проецирования заключается в том, что предмет проецируется на две взаимно перпендикулярные плоскости лучами, ортогональными (перпендикулярными) к этим плоскостям..
Одну из плоскостей проекций H располагают горизонтально, а вторую V — вертикально. Плоскость H называют горизонтальной плоскостью проекций, V — фронтальной. Плоскости H и V бесконечны и непрозрачны. Линия пересечения плоскостей проекций называется осью координат и обозначается OX . Плоскости проекций делят пространство на четыре двугранных угла — четверти.
Рассматривая ортогональные проекции, предполагают, что наблюдатель находится в первой четверти на бесконечно большом расстоянии от плоскостей проекций. Так как эти плоскости непрозрачны, то видимыми для наблюдателя будут только те точки, линии и фигуры, которые расположены в пределах той же первой четверти.
При построении проекций необходимо помнить, что ортогональной проекцией точки на плоскость называется основание перпендикуляра, опущенного из данной точки на эту плоскость.
На рисунке показаны точка А и ее ортогональные проекции а 1 и а 2 .
Точку а 1 называют горизонтальной проекцией точки А, точку а 2 — ее фронтальной проекцией . Каждая из них является основанием перпендикуляра, опущенного из точки А соответственно на плоскости H и V .
Можно доказать, что проекции точки всегда расположены на прямых, перпенди кулярных оси ОХ и пересекающих эту ось в одной и той же точке. Действительно, проецирующие лучи А а 1 и А а 2 определяют плоскость, перпендикулярную плоскостям проекций и линии их пересечения — оси ОХ. Эта плоскость пересекает H и V по прямым а 1 а x и а 1 а x , которые образуют с осью OX и друг с другом прямые углы с вершиной в точке а x .
Справедливо и обратное, т. е. если на плоскостях проекций даны точки a 1 и a 2 , расположенные на прямых, пересекающих ось OX в данной точке под прямым углом, то они являются проекциями некоторой точки А. Эта точка определяется пересечением перпендикуляров, восставленных из точек a 1 и a 2 к плоскостям H и V .
Заметим, что положение плоскостей проекций в пространстве может оказаться иным. Например, обе плоскости, будучи взаимно перпендикулярными, могут быть вертикальными Но и в этом случае доказанное выше предположение об ориентации разноименных проекций точек относительно оси остается справедливым.
Чтобы получить плоский чертеж, состоящий из указанных выше проекций, плоскость H совмещают вращением вокруг оси OX с плоскостью V , как показано стрелками на рисунке. В результате передняя полуплоскость H будет совмещена с нижней полуплоскостью V , а задняя полуплоскость H — с верхней полуплоскостью V .
Проекционный чертеж, на котором плоскости проекций со всем тем, что на них изображено, совмещены определенным образом одна с другой, называется эпюром (от франц. еpure - чертеж). На рисунке показан эпюр точки А.
При таком способе совмещения плоскостей H и V проекции a 1 и a 2 окажутся расположенными на одном перпендикуляре к оси OX . При этом расстояние a 1 a x — от горизонтальной проекции точки до оси OX А до плоскости V , а расстояние a 2 a x — от фронтальной проекции точки до оси OX равно расстоянию от самой точки А до плоскости H .
Прямые линии, соединяющие разноименные проекции точки на эпюре, условимся называть линиями проекционной связи .
Положение проекций точек на эпюре зависит от того, в какой четверти находится данная точка. Так, если точка В расположена во второй четверти, то после совмещения плоскостей обе проекции окажутся лежащими над осью OX.
Если точка С находится в третьей четверти, то ее горизонтальная проекция после совмещения плоскостей окажется над осью, а фронтальная — под осью OX . Наконец, если точка D расположена в четвертой четверти, то обе проекции ее окажутся под осью OX . На рисунке показаны точки М и N , лежащие на плоскостях проекций. При таком положении точка совпадает с одной из своих проекций, другая же проекция ее оказывается лежащей на оси OX . Эта особенность отражена и в обозначении: около той проекции, с которой совпадает сама точка, пишется заглавная буква без индекса.
Следует отметить и тот случай, когда обе проекции точки совпадают. Так будет, если точка находится во второй или четвертой четверти на одинаковом расстоянии от плоскостей проекций. Обе проекции совмещаются с самой точкой, если последняя расположена на оси OX .
ОРТОГОНАЛЬНАЯ СИСТЕМА ТРЕХ ПЛОСКОСТЕЙ ПРОЕКЦИЙ.
Выше было показано, что две проекции точки определяют ее положение в пространстве. Так как каждая фигура или тело представляет собой совокупность точек, то можно утверждать, что и две ортогональные проекции предмета (при наличии буквенных обозначений) вполне определяют его форму.
Однако в практике изображения строительных конструкций, машин и различных инженерных сооружений возникает необходимость в создании дополнительных проекций. Поступают так с единственной целью — сделать проекционный чертеж более ясным, удобочитаемым.
Модель трех плоскостей проекций показана на рисунке. Третья плоскость, перпендикулярная и H и V , обозначается буквой W и называется профильной.
Проекции точек на эту плоскость будут также именоваться профильными, а обозначают их заглавными буквами или цифрами с индексом 3 (a з, b з, c з, ... 1з, 2з, 3 3 ...).
Плоскости проекций, попарно пересекаясь, определяют три оси: О X , О Y и О Z , которые можно рассматривать как систему прямоугольных декартовых координат в пространстве с началом в точке О. Система знаков, указанная на рисунке, соответствует «правой системе» координат.
Три плоскости проекций делят пространство на восемь трехгранных углов — это так называемые октанты . Нумерация октантов дана на рисунке.
Для получения эпюра плоскости H и W вращают, как показано на рисунке, до совмещения с плоскостью V . В результате вращения передняя полуплоскость H оказывается совмещенной с нижней полуплоскостью V , а задняя полуплоскость H — с верхней полуплоскостью V . При повороте на 90° вокруг оси О Z передняя полуплоскость W совместится с правой полуплоскостью V , а задняя полуплоскость W — с левой полуплоскостью V .
Окончательный вид всех совмещенных плоскостей проекций дан на рисунке. На этом чертеже оси О X и О Z , лежащие в не подвижной плоскости V , изображены только один раз, а ось О Y показана дважды. Объясняется это тем, что, вращаясь с плоскостью H , ось О Y на эпюре совмещается с осью О Z , а вращаясь вместе с плоскостью W , эта же ось совмещается с осью О X .
В дальнейшем при обозначении осей на эпюре отрицательные полуоси (— О X , — О Y , — О Z ) указываться не будут.
ТРИ КООРДИНАТЫ И ТРИ ПРОЕКЦИИ ТОЧКИ И ЕЕ РАДИУСА-ВЕКТОРА.
Координатами называют числа, которые ставят в соответствие точке для определе ния ее положения в пространстве или на поверхности.
В трехмерном пространстве положение точки устанавливают с помощью прямоугольных декартовых координат х, у и z .
Координату х называют абсциссой , у — ординатой и z — аппликатой. Абсцисса х определяет расстояние от данной точки до плоскости W , ордината у — до плоскости V и аппликата z - до плоскости H . Приняв для отсчета координат точки систему, показанную на рисунке, составим таблицу знаков координат во всех восьми октантах. Какая-либо точка пространства А, заданная координатами, будет обозначаться так: A (х, у, z ).
Если х = 5, y = 4 и z = 6, то запись примет следующий вид А (5, 4, 6). Эта точка А, все координаты которой положительны, находится в первом октанте
Координаты точки А являются вместе с тем и координатами ее радиуса-вектора
ОА по отношению к началу координат. Если i , j , k — единичные векторы, направленные соответственно вдоль координатных осей х, у, z (рисунок), то
ОА = О A x i +ОА y j + ОА z k , где ОА Х, ОА У, ОА г — координаты вектора ОА
Построение изображения самой точки и ее проекций на пространственной модели (рисунок) рекомендуется осуществлять с помощью координатного прямоугольного параллелепипеда. Прежде всего на осях координат от точки О откладывают отрезки, соответственно равные 5, 4 и 6 единицам длины. На этих отрезках (О a x , О a y , О a z ), как на ребрах, строят прямоугольный параллелепипед. Вершина его, противоположная началу координат, и будет определять заданную точку А. Легко заметить, что для определения точки А достаточно построить только три ребра параллелепипеда, например О a x , a x a 1 и a 1 А или О a y , a y a 1 и a 1 A и т. д. Эти ребра образуют координатную ломаную линию, длина каждого звена которой определяется соответствующей координатой точки.
Однако построение параллелепипеда позволяет определить не только точку А, но и все три ее ортогональные проекции.
Лучами, проецирующими точку на плоскости H , V , W являются те три ребра параллелепипеда, которые пересекаются в точке А.
Каждая из ортогональных проекций точки А, будучи расположенной на плоскости, определяется только двумя координатами.
Так, горизонтальная проекция a 1 определяется координатами х и у, фронтальная проекция a 2 — координатами х и z , профильная проекция a 3 — координатами у и z . Но две любые проекции определяются тремя координатами. Вот почему задание точки двумя проекциями равносильно заданию точки тремя координатами.
На эпюре (рисунок), где все плоскости проекций совмещены, проекции a 1 и a 2 окажутся на одном перпендикуляре к оси О X , а проекции a 2 и a 3 — на одном перпендикуляре к оси OZ .
Что касается проекций a 1 и a 3 , то и они связаны прямыми a 1 a y и a 3 a y , перпендикулярными оси О Y . Но так как эта ось на эпюре занимает два положения, то отрезок a 1 a y не может быть продолжением отрезка a 3 a y .
Построение проекций точки А (5, 4, 6) на эпюре по заданным координатам выполняют в такой последовательности: прежде всего на оси абсцисс от начала координат откладывают отрезок О a x = х (в нашем случае х = 5), затем через точку a x проводят перпендикуляр к оси О X , на котором с учетом знаков откладываем отрезки a x a 1 = у (получаем a 1 ) и a x a 2 = z (получаем a 2 ). Остается построить профильную проекцию точки a 3 . Так как профильная и фронтальная проекции точки должны быть расположены на одном перпендикуляре к оси OZ , то через a 3 проводят прямую a 2 a z ^ OZ .
Наконец, возникает последний вопрос: на каком расстоянии от оси О Z должна находиться a 3 ?
Рассматривая координатный параллелепипед (см. рисунок), ребра которого a z a 3 = Oa y = a x a 1 = y заключаем, что искомое расстояние a z a 3 равно у. Отрезок a z a 3 откладывают вправо от оси ОZ, если у>0, и влево, если у
Проследим за тем, какие изменения произойдут на эпюре, когда точка начнет менять свое положение в пространстве.
Пусть, например, точка А (5, 4, 6) станет перемещаться по прямой, перпендикулярной плоскости V . При таком движении будет меняться только одна координата у, показывающая расстояние от точки до плоскости V . Постоянными будут оставаться координаты х и z , а проекция точки, определяемая этими координатами, т. е. a 2 не изменит своего положения.
Что касается проекций a 1 и a 3 , то первая начнет приближаться к оси О X , вторая — к оси О Z . На рисунках новому положению точки соответствуют обозначения a 1 (a 1 1 a 2 1 a 3 1 ). В тот момент, когда точка окажется на плоскости V (y = 0), две из трех проекций (a 1 2 и a 3 2 ) будут лежать на осях.
Переместившись из I октанта во II , точка начнет удаляться от плоскости V , координата у станет отрицательной, ее абсолютная величина будет возрастать. Горизонтальная проекция этой точки, будучи расположенной на задней полуплоскости H , на эпюре окажется выше оси О X , а профильная проекция, находясь на задней полуплоскости W , на эпюре будет слева от оси О Z . Как всегда, отрезок a z a 3 3 = у.
На последующих эпюрах мы не станем обозначать буквами точки пересечения координатных осей с линиями проекционной связи. Это в какой-то мере упростит чертеж.
В дальнейшем встретятся эпюры и без координатных осей. Так поступают на практике при изображении предметов, когда существенно только само изображе ние предмета, а не его положение относи тельно плоскостей проекций.
Плоскости проекций в этом случае определены с точностью лишь до параллельного переноса (рисунок). Их обычно перемещают параллельно самим себе с таким расчетом, чтобы все точки предмета оказались над плоскостью H и перед плоскостью V . Так как положение оси X 12 оказывается неопределенным, то образование эпюра в этом случае не нужно связывать с вращением плоскостей вокруг координатной оси. При переходе к эпюру плоскости H и V совмещают так, чтобы разноименные проекции точек были расположены на вертикальных прямых.
Безосный эпюр точек А и В (рисунок) не определяет их положения в пространстве, но позволяет судить об их относительной ориентировке. Так, отрезок △x характеризует смещение точки А по отношению к точке В в направлении, параллельном плоскостям H и V. Иными словами, △x указывает, насколько точка А расположена левее точки В. Относительное смещение точки в направлении, перпендикулярном плоскости V, определяется отрезком △y, т. е. точка А в нашем примере ближе к наблюдателю, чем точка В, на расстояние, равное △y.
Наконец, отрезок △z показывает превышение точки А над точкой В.
Сторонники безосного изучения курса начертательной геометрии справедливо указывают, что при решении многих задач можно обходиться без осей координат. Однако полный отказ от них нельзя признать целесообразным. Начертательная геометрия призвана подготовить будущего инженера не только к грамотному выполнению чертежей, но и к решению различных технических задач, среди которых не последнее место занимают задачи пространственной статики и механики. А для этого необходимо воспитывать умение ориентировать тот или иной предмет относительно декартовых осей координат. Указанные навыки будут необходимы и при изучении таких разделов начертательной геометрии, как перспектива и аксонометрия. Поэтому на ряде эпюров этой книги мы сохраняем изображения координатных осей. Такие чертежи определяют не только форму предмета, но и его расположение относительно плоскостей проекций.
Проецирование точки на три плоскости проекций координатного угла начинают с получения ее изображения на плоскости H - горизонтальной плоскости проекций. Для этого через точку А (рис. 4.12, а) проводят проецирующий луч перпендикулярно плоскости H.
На рисунке перпендикуляр к плоскости Н параллелен оси Oz. Точку пересечения луча с плоскостью Н (точку а) выбирают произвольно. Отрезок Аа определяет, на каком расстоянии находится точка А от плоскости Н, указывая тем самым однозначно положение точки А на рисунке по отношению к плоскостям проекций. Точка а является прямоугольной проекцией точки А на плоскость Н и называется горизонтальной проекцией точки А (рис. 4.12, а).
Для получения изображения точки А на плоскости V (рис. 4.12,б) через точку А проводят проецирующий луч перпендикулярно фронтальной плоскости проекций V. На рисунке перпендикуляр к плоскости V параллелен оси Оу. На плоскости Н расстояние от точки А до плоскости V изобразится отрезком аа х, параллельным оси Оу и перпендикулярным оси Ох. Если представить себе, что проецирующий луч и его изображение проводят одновременно в направлении плоскости V, то когда изображение луча пересечет ось Ох в точке а х, луч пересечет плоскость V в точке а". Проведя из точки а х в плоскости V перпендикуляр к оси Ох, который является изображением проецирующего луча Аа на плоскости V, в пересечении с проецирующим лучом получают точку а". Точка а" является фронтальной проекцией точки А, т. е. ее изображением на плоскости V.
Изображение точки А на профильной плоскости проекций (рис. 4.12, в) строят с помощью проецирующего луча, перпендикулярного плоскости W. На рисунке перпендикуляр к плоскости W параллелен оси Ох. Проецирующий луч от точки А до плоскости W на плоскости Н изобразится отрезком аа у, параллельным оси Ох и перпендикулярным оси Оу. Из точки Оу параллельно оси Oz и перпендикулярно оси Оу строят изображение проецирующего луча аА и в пересечении с проецирующим лучом получают точку а". Точка а" является профильной проекцией точки А, т. е. изображением точки А на плоскости W.
Точку а" можно построить, проведя от точки а" отрезок а"а z (изображение проецирующего луча Аа" на плоскости V) параллельно оси Ох, а от точки а z - отрезок а"а z параллельно оси Оу до пересечения с проецирующим лучом.
Получив три проекции точки А на плоскостях проекций, координатный угол развертывают в одну плоскость, как показано на рис. 4.11,б, вместе с проекциями точки А и проецирующих лучей, а точку А и проецирующие лучи Аа, Аа" и Аа" убирают. Края совмещенных плоскостей проекций не проводят, а проводят только оси проекций Oz, Оу и Ох, Оу 1 (рис. 4.13).
Анализ ортогонального чертежа точки показывает, что три расстояния - Аа", Аа и Аа" (рис. 4.12, в), характеризующие положение точки А в пространстве, можно определить, отбросив сам объект проецирования - точку А, на развернутом в одну плоскость координатном угле (рис. 4.13). Отрезки а"а z , аа y и Оа х равны Аа" как противоположные стороны соответствующих прямоугольников (рис. 4.12,в и 4.13). Они определяют расстояние, на котором находится точка А от профильной плоскости проекций. Отрезки а"а х, а"а у1 и Оа у равны отрезку Аа, определяют расстояние от точки А до горизонтальной плоскости проекций, отрезки аа х, а"а z и Оа y 1 равны отрезку Аа", определяющему расстояние от точки А до фронтальной плоскости проекций.
Отрезки Оа х, Оа у и Оа z , расположенные на осях проекций, являются графическим выражением размеров координат X, Y и Z точки А. Координаты точки обозначают с индексом соответствующей буквы. Измерив величину этих отрезков, можно определить положение точки в пространстве, т. е. задать координаты точки.
На эпюре отрезки а"а х и аа х располагаются как одна линия, перпендикулярная к оси Ох а отрезки а"а z и a"a z - к оси Оz. Эти лини называются линиями проекционной связи. Они пересекают оси проекций в точках а х и а z соответственно. Линия проекционной связи, соединяющая горизонтальную проекцию точки А с профильной, оказалась «разрезанной» в точке а у.
Две проекции одной и той же точки всегда располагаются на одной линии проекционной связи, перпендикулярной к оси проекций.
Для представления положения точки в пространстве достаточно двух ее проекций и заданного начала координат (точка О) На рис. 4.14, б две проекции точки полностью определяют ее положение в пространстве По этим двум проекциям можно построит профильную проекцию точки А. Поэтому в дальнейшем, если не будет необходимости в профильной проекции, эпюры будут построены на двух плоскостях проекций: V и Н.
Рис. 4.14. Рис. 4.15.
Рассмотрим несколько примеров построения и чтения чертежа точки.
Пример 1. Определение координат точки J заданной на эпюре двумя проекциях (рис. 4.14). Измеряются три отрезка: отрезок Ов Х (координата X), отрезок b Х b (координата Y) и отрезок b Х b" (координата Z). Координаты записывают в следующем п рядке: X, Y и Z, после буквенного обозначения точки, например, В20; 30; 15.
Пример 2 . Построение точки по заданным координатам. Точка С задана координатами С30; 10; 40. На оси Ох (рис. 4.15) находят точку с х, в которой линия проекционной связи пересекает ось проекций. Для этого по оси Ох от начала координат (точка О) откладывают координату X (размер 30) и получают точку с х. Через эту точку перпендикулярно оси Ох проводят линию проекционной связи и от точки вниз откладывают координату У (размер 10), получают точку с - горизонтальную проекцию точки С. Вверх от точки с х по линии проекционной связи откладывают координату Z (размер 40), получают точку с" - фронтальную проекцию точки С.
Пример 3 . Построение профильной проекции точки по заданным проекциям. Заданы проекции точки D - d и d". Через точку О проводят оси проекций Oz, Oy и Оу 1 (рис. 4.16, а). Для построения профильной проекции точки D отточки d" проводят линию проекционной связи, перпендикулярную оси Oz, и продолжают ее вправо за ось Oz. На этой линии будет располагаться профильная проекция точки D. Она будет находиться на таком расстоянии от оси Oz, на каком горизонтальная проекция точки d располагается: от оси Ох, т. е. на расстоянии dd x . Отрезки d z d" и dd x одинаковы, так как определяют одно и то же расстояние - расстояние от точки D до фронтальной плоскости проекций. Это расстояние является координатой У точки D.
Графически отрезок d z d" строят перенесением отрезка dd x с горизонтальной плоскости проекций на профильную. Для этого проводят линию проекционной связи параллельно оси Ох, получают на оси Оу точку d y (рис. 4.16,б). Затем переносят размер отрезка Od y на ось Оу 1 , проведя из точки О дугу радиусом, равным отрезку Od y , до пересечения с осью Оу 1 (рис. 4.16,б), получают точку dy 1 . Эту точку можно построить и как показано на рис. 4.16, в, проведя прямую под углом 45° к оси Оу из точки d y . Из точки d y1 проводят линию проекционной связи параллельно оси Oz и на ней откладывают отрезок, равный отрезку d"d x , получают точку d".
Перенос величины отрезка d x d на профильную плоскость проекций можно осуществить с помощью постоянной прямой чертежа (рис. 4.16, г). В этом случае линию проекционной связи dd y проводят через горизонтальную проекцию точки параллельно оси Оу 1 до пересечения с постоянной прямой, а затем параллельно оси Оу до пересечения с продолжением линии проекционной связи d"d z .
Частные случаи расположения точек относительно плоскостей проекций
Положение точки относительно плоскости проекций определяется соответствующей координатой, т. е. величиной отрезка линии проекционной связи от оси Ох до соответствующей проекции. На рис. 4.17 координата У точки А определяется отрезком аа х - расстояние от точки А до плоскости V. Координата Z точки А определяется отрезком а"а х - расстояние от точки А до плоскости Н. Если одна из координат равна нулю, то точка расположена на плоскости проекций. На рис. 4.17 приведены примеры различного расположения точек относительно плоскостей проекций. Координата Z точки В равна нулю, точка находится в плоскости Н. Ее фронтальная проекция находится на оси Ох и совпадает с точкой b х. Координата У точки С равна нулю, точка располагается на плоскости V, ее горизонтальная проекция с находится на оси Ох и совпадает с точкой с х.
Следовательно, если точка находится на плоскости проекций, то одна из проекций этой точки лежит на оси проекций.
На рис. 4.17 координаты Z и Y точки D равны нулю, следовательно, точка D находится на оси проекций Ох и две ее проекции совпадают.
Для построения изображений ряда деталей необходимо уметь находить проекции отдельных точек. Например, трудно вычертить вид сверху детали, приведенной на рис. 139, не строя горизонтальных проекций точек А, В, С, D, Е, F и др.
Задача нахождения проекций точек по одной, заданной на поверхности предмета, решается следующим образом. Сначала находят проекции поверхности, на которой расположена точка. Затем, проведя линию связи к проекции, где поверхность изображается линией, находят вторую проекцию точки. Третья проекция лежит на пересечении линий связи.
Рассмотрим пример.
Даны три проекции детали (рис. 140, а). Задана горизонтальная проекция а точки А, лежащей на видимой поверхности. Нужно найти остальные проекции этой точки.
Прежде всего надо провести вспомогательную прямую. Если даны два вида, то место вспомогательной прямой на чертеже выбирают произвольно, правее вида сверху, так чтобы вид слева оказался на нужном расстоянии от главного вида (рис. 141).
Если три вида уже построены (рис. 142, а), то место вспомогательной прямой произвольно выбирать нельзя; нужно найти точку, через которую она пройдет. Для этого достаточно продолжить до взаимного пересечения горизонтальную и профильную проекции оси симметрии и через полученную точку k (рис. 142, б) провести под углом 45° отрезок прямой, который и будет вспомогательной прямой.
Если осей симметрии нет, то продолжают до пересечения в точке k 1 горизонтальную и профильную проекции любой грани, проецирующейся в виде отрезков прямой (рис. 142, б).
Проведя вспомогательную прямую, приступают к построению проекций точки (см. рис. 140, б).
Фронтальная а" и профильная а" проекции точки А должны располагаться на соответствующих проекциях поверхности, которой принадлежит точка А. Находят эти проекции. На рис. 140, б они выделены цветом. Проводят линии связи, как указано стрелками. В местах пересечения линий связи с проекциями поверхности находятся искомые проекции а" и а".
Построение проекций точек В, С, D показано на рис. 140, в линиями связи со стрелками. Заданные проекции точек цветные. Линии связи проводят к той проекции, на которой поверхность изображается в виде линии, а не в виде фигуры. Поэтому сначала находят фронтальную проекцию с" точки С. Профильная проекция с точки С определяется пересечением линий связи.
Если поверхность ни на одной проекции не изображается линией, то для построения проекций точек надо применять вспомогательную плоскость. Например, дана фронтальная проекция d точки А, лежащей на поверхности конуса (рис. 143, а). Через точку параллельно основанию проводят вспомогательную плоскость, которая пересечет конус по окружности; ее фронтальная проекция - отрезок прямой, а горизонтальная - окружность диаметром, равным длине этого отрезка (рис. 143, б). Проведя к этой окружности из точки а" линию связи, получают горизонтальную проекцию а точки А.
Профильную проекцию а" точки А находят обычным способом на пересечении линий связи.
Таким же приемом можно найти проекции точки, лежащей, например, на поверхности пирамиды или шара. При пересечении пирамиды плоскостью, параллельной основанию и проходящей через заданную точку, образуется фигура, подобная основанию. На проекциях этой фигуры лежат проекции заданной точки.
Ответьте на вопросы
1. Под каким углом проводят вспомогательную прямую?
2. Где проводят вспомогательную прямую, если заданы виды спереди и сверху, а надо построить вид слева?
3. Как определить место вспомогательной прямой при наличии трех видов?
4. В чем заключается способ построения проекций точки по одной заданной, если одна из поверхностей предмета изображается линией?
5. Для каких геометрических тел и в каких случаях проекции точки, заданной на их поверхности, находят, пользуясь вспомогательной плоскостью?
Задания к § 20
Упражнение 68
Запишите в рабочей тетради, каким проекциям точек, обозначенных на видах цифрами, соответствуют точки, обозначенные на наглядном изображении буквами в примере, указанном Вам преподавателем (рис. 144, а-г).
Упражнение 69
На рис. 145, а-б буквами обозначено лишь по одной проекции некоторых из вершин. Найдите в примере, указанном Вам преподавателем, остальные проекции этих вершин и обозначьте их буквами. Постройте в одном из примеров недостающие проекции точек, заданных на ребрах предмета (рис. 145, г и д). Выделите цветом проекции ребер, на" которых находятся точки. Задание выполните на прозрачной бумаге, наложив ее на страницу учебника. Перечерчивать рис. 145 не надо.
Упражнение 70
Найдите недостающие проекции точек, заданных одной проекцией на видимых поверхностях предмета (рис. 146). Обозначьте их буквами. Заданные проекции точек выделите цветом. Решить задание Вам поможет наглядное изображение. Задание можно выполнить как в рабочей тетради, так и на прозрачной бумаге, наложив ее на страницу учебника. В последнем случае перечерчивать рис. 146 не надо.
Упражнение 71
В примере, указанном Вам преподавателем, перечертите три вида (рис. 147). Постройте недостающие проекции точек, заданных на видимых поверхностях предмета. Заданные проекции точек выделите цветом. Обозначьте буквами все проекции точек. Для построения проекций точек воспользуйтесь вспомогательной прямой. Выполните технический рисунок и нанесите на нем заданные точки.
В ряде случаев, для удобства решения задач необходимо использовать дополнительные плоскости проекций, перпендикулярные к уже имеющимся плоскостям проекций.
Если заданы горизонтальная и фронтальная проекции точки, то профильная проекция определяется по следующему алгоритму.
Проводим линию проекционной связи перпендикулярную оси Oz .
На данной линии проекционной связи откладываем отрезок А 1 А X =А Z А 3 .
Используя данное правило, можно строить проекции точек на дополнительные плоскости проекций (метод замен плоскостей).
Пусть дана точка А(А 2 ,А 1 ) и новая дополнительная плоскость проекций П 4 П 1 . Построить А 4 – проекцию точки А на П 4 .
Решение
а) Строим линию пересечения плоскостей П 1 и П 4 = x 1,4 ;
b) Через точку А проводим линию проекционной связи x 1,4 .
c) Строим проекцию А 4 , использую равенство отрезков А 2 А X =А 4 А X .
Две проекции точки А 1 и А 4 лежат на одной линии проекционной связи перпендикулярной к оси X 1,4 .
Расстояние от “новой” проекции точки А 4 до “новой” оси x 1,4 равно расстоянию от “старой” проекции точки А 2 до “старой” оси x 1,2 .
Конкурирующие точки
Конкурирующими точками называют пару точек, лежащих на одном проецирующем луче .
Из двух конкурирующих точек видимой является та точка, которая дальше распологается от плоскости проекций.
Точки А и В называют горизонтально конкурирующими.
Точки С и D называют фронтально конкурирующими.
Ввести дополнительную плоскость так, чтобы точки А и В стали конкурирующими.
План решения:
1 Строим ось x 1,4 A 1 , B 1 ;
2 Строим линию проекционной связи x 1,4 ;
3 На линии проекционной связи откладываем отрезки A x A 2 = A / x A 4 , B x B 2 = B / x B 4 .
Материал для самостоятельного изучения Моделирование объектов 2d-графики в графической системе компас Запуск системы компас и завершение работы
Система КОМПАС-3D-V8запускается аналогично другим программам. Для запуска системы необходимо выбрать меню \Пуск \ Все п рограммы \ АСКОН \ КОМПАС-3 D - V 8 и запустить КОМПАС . Можно выбрать указателем мыши на поле рабочего стола ярлык программы и дважды щелкнуть левой кнопкой мыши. Чтобы открыть документ, необходимо нажать кнопкуОткрыть на панели Стандартная . Чтобы начать новый документ нажмите кнопку Создать на панели Стандартная или выполните команду Файл > Создать и в открывшемся диалоговом окне выберите тип создаваемого документа и нажмите ОК .
Для завершения работы выбрать меню Файл \Выход , комбинацию клавиш Alt-F4 или щелкнуть на кнопке Закрыть.
Основные типы документов графической системы компас
Тип документа, создаваемого в системе КОМПАС, зависит от рода информации, хранящейся в этом документе. Каждому типу документа соответствует расширение имени файла и собственная пиктограмма.
1 Чертеж - основной тип графического документа в КОМПАС. Чертеж содержит графическое изображение изделия в одном или нескольких видах, основную надпись, рамку. Чертеж КОМПАС всегда содержит один лист заданного пользователем формата. Файл чертежа имеет расширение .cdw .
2 Фрагмент - вспомогательный тип графического документа в КОМПАС. Фрагмент отличается от чертежа отсутствием рамки, основной надписи и других объектов оформления конструкторского документа. Во фрагментах хранятся созданные типовые решения для последующего использования в других документах. Файл фрагмента имеет расширение .frw .
3 Текстовый документ (расширение файла . kdw );
4 Спецификация (расширение файла . spw );
5 Сборка (расширение файла . a 3 d );
6 Деталь - Трехмерное моделирование (расширение файла . m 3 d );
При прямоугольном проецировании система плоскостей проекций представляет собой две взаимно перпендикулярные плоскости проекций (рис. 2.1). Одну условились располагать горизонтально, а другую - вертикально.
Плоскость проекций, расположенную горизонтально, называют горизонтальной плоскостью проекций и обозначают щ, а плоскость, ей перпендикулярную, - фронтальной плоскостью проекций л 2 . Саму систему плоскостей проекций обозначают п/п 2 . Обычно употребляют сокращенные выражения: плоскость Л[, плоскость п 2 . Линию пересечения плоскостей щ и к 2 называют осью проекций ОХ. Она делит каждую плоскость проекций на две части - полы. Горизонтальная плоскость проекций имеет переднюю и заднюю, а фронтальная - верхнюю и нижнюю полы.
Плоскости щ и п 2 делят пространство на четыре части, называемые четвертями и обозначаемые римскими цифрами I, II, III и IV (см. рис. 2.1). Первой четвертью называют часть пространства, ограниченную верхней полой фронтальной и передней полой горизонтальной плоскостей проекций. Для остальных четвертей пространства определения аналогичны предыдущему.
Все машиностроительные чертежи представляют собой изображения, построенные на одной плоскости. На рис. 2.1 система плоскостей проекций является пространственной. Для перехода к изображениям на одной плоскости условились совмещать плоскости проекций. Обычно плоскость п 2 оставляют неподвижной, а плоскость П поворачивают по направлению, указанному стрелками (см. рис. 2.1), вокруг оси ОХ на угол 90° до совмещения ее с плоскостью п 2 . При таком повороте передняя пола горизонтальной плоскости опускается вниз, а задняя поднимается вверх. После совмещения плоскости имеют вид, изобра-
женный на рис. 2.2. Считают, что плоскости проекций непрозрачны и наблюдатель всегда находится в первой четверти. На рис. 2.2 обозначение невидимых после совмещения пол плоскостей взято в скобки, как это принято для выделения на чертежах невидимых фигур.
Проецируемая точка может находиться в любой четверти пространства или на любой плоскости проекций. Во всех случаях для построения проекций через нее проводят проецирующие прямые и находят точки встречи их с плоскостями 711 и 712, которые и являются проек- циями.
Рассмотрим проецирование точки, расположенной в первой четверти. Заданы система плоскостей проекций 711/712 и точка А (рис. 2.3). Через нее проводят две прямые ЛИНИИ, перпендикулярные ПЛОСКОСТЯМ 71) И 71 2 . Одна из них пересечет плоскость 711 в точке А ", называемой горизонтальной проекцией точки А, а другая - плоскость 71 2 в точке А ", называемой фронтальной проекцией точки А.
Проецирующие прямые АА " и АА " определяют плоскость проецирования а. Она перпендикулярна плоскостям Кип 2 , так как проходит через перпендикуляры к ним и пересекает плоскости проекций по прямым А "Ах и А "А х. Ось проекций ОХ перпендикулярна плоскости ос, как линия пересечения двух плоскостей 71| и 71 2 , перпендикулярных третьей плоскости (а), а следовательно, и любой прямой, лежащей в ней. В частности, 0X1А"А х и 0X1А "А х.
При совмещении плоскостей отрезок А "А х, расположенный на плоскости к 2 , остается неподвижным, а отрезок А "А х вместе с плоскостью 71) будет повернут вокруг оси ОХ до совмещения с плоскостью 71 2 . Вид совмещенных плоскостей проекций вместе с проекциями точки А приведен на рис. 2.4, а. После совмещения точки А ", А х и А " окажутся расположенными на одной прямой, перпендикулярной оси ОХ. Отсюда следует вывод, что две проекции одной и той же точки
лежат на общем перпендикуляре к оси проекции. Этот перпендикуляр, соединяющий две проекции одной и той же точки, называют линией проекционной связи.
Чертеж на рис. 2.4, а можно значительно упростить. Обозначения совмещенных плоскостей проекций на чертежах не отмечают и прямоугольники, условно ограничивающие плоскости проекций, не изображают, так как плоскости безграничны. Упрощенный чертеж точки А (рис. 2.4, б) называют также эпюром (от франц. ?pure - чертеж).
Изображенный на рис. 2.3 четырехугольник AE4 "А Х А " является прямоугольником и его противоположные стороны равны и параллельны. Поэтому расстояние от точки А до плоскости П , измеряемое отрезком АА ", на чертеже определяется отрезком А "А х. Отрезок же А "А х = АА" позволяет судить о расстоянии от точки А до плоскости к 2 . Таким образом, чертеж точки дает полное представление о ее расположении относительно плоскостей проекций. Например, по чертежу (см. рис. 2.4, б) можно утверждать, что точка А расположена в первой четверти и удалена от плоскости п 2 на меньшее расстояние, чем от плоскости тс ь так как А "А х А "А х.
Перейдем к проецированию точки во второй, третьей и четвертой четвертях пространства.
При проецировании точки В, расположенной во второй четверти (рис. 2.5), после совмещения плоскостей обе ее проекции окажутся выше оси ОХ.
Горизонтальная проекция точки С, заданной в третьей четверти (рис. 2.6), расположена выше оси ОХ, а фронтальная - ниже.
Точка Д изображенная на рис. 2.7, расположена в четвертой четверти. После совмещения плоскостей проекций обе ее проекции окажутся ниже оси ОХ.
Сравнивая чертежи точек, находящихся в разных четвертях пространства (см. рис. 2.4-2.7), можно заметить, что для каждой характерно свое расположение проекций относительно оси проекций ОХ.
В частных случаях проецируемая точка может лежать на плоскости проекций. Тогда одна ее проекция совпадает с самой точкой, а другая будет расположена на оси проекций. Например, для точки Е, лежащей на плоскости щ (рис. 2.8), горизонтальная проекция совпадает с самой точкой, а фронтальная находится на оси ОХ. У точки Е, расположенной на плоскости к 2 (рис. 2.9), горизонтальная проекция на оси ОХ, а фронтальная совпадает с самой точкой.
Загрузка...